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尤文龙  副教授

科学研究

强关联体系的研究范

强关联电子体系的研究在当今凝聚态物理学理论中占据着一个十分重要的地位。一般说来,在所谓的强关联电子体系中,其中的电子间库仑相互作用的强度远大于能带宽度。我们知道,固体物理建立起来的范式是单电子近似的能带理论加上描述弱相互作用电子系统(费米子系统)低能激发行为的费米液体理论,它们在区分和解释绝缘体、半导体、金属和它们的物理性质上取得了巨大的成功。但是把包含大量电子和原子实构成的固体系统看成单电子在周期势场中的运动,这中间做了巨大的物理简化。于近二十年来,实验物理学家们发现了许多新的材料以及所揭示的有趣的物理现象。人们注意到这些材料的物理行为不能由单电子近似的理论给予解释。例如,依据能带理论,CuO,NiO应是良导体,而实际上它们是绝缘体。人们认识到这是由于这些系统中电子间的库仑排斥较强,电子之间存在关联,从而使得单电子近似不能成立。人们把这些必须考虑电子间库仑关联的物理体系统称为强关联电子系统。最著名的例子就是高温超导材料。


目前发现的一些典型的超导体及其晶体结构。

在强关联电子系统中,电子间的库仑排斥(特别是同一格点的库仑排斥)使得电子的局域性增强,而源于电电子轨道交叠引起的电子迁移则增强了电子的巡游性。由于电子巡游性与局域性的竞争,强关联电子体系会呈现出许多奇特的电子状态和丰富多彩的物理现象。电子间相互作用的微弱变化或电子填充的少许改变往往会使得其基态及低能激发性质有明显不同。众多强关联体系中存在的电荷有序和磁有序、具有能隙的自旋或电荷激发行为、各种类型的金属-绝缘体转变、金属状态的非费米液体特征等等,都是这种竞争导致的结果。对于强关联电子系统,目前尚没有系统的理论能给予描写和处理,而要对具体的物理问题选用直接考虑计及了某种相互作用的模型哈密顿量,再将它们在一定条件下的计算结果与实际体系的性质进行比较。探索强关联电子系统非同寻常的物理性质并对其机理进行理论解释是目前凝聚态物理研究中最具挑战性的前沿课题。

广义上讲,强关联电子系统包含的范围十分广泛,包含有众多的前沿科学问题。但是我关注的是如下几个物理问题:

1)过渡金属化合物中的量子多体性质
过渡金属化合物材料显示了众多新奇的量子合作现象,诸如(高温)超导、巨磁电阻、电荷与自旋密度波、量子相变、以及多种类型的金属-绝缘体转变等等。对于很多过渡金属化合物,不仅要考虑电子携带的电荷和自旋,还要考虑在晶体电场作用下不同轨道电子的效应。电荷、自旋、轨道以及晶格自由度之间可能存在复杂的相互作用。过渡金属化合物中除了近二十年来受到广泛研究的铜氧化物高温超导体和锰氧化物巨磁电阻材料之外,另外一些体系如钌氧化物(如(Ca,Sr)2RuO4体系)、钴氧化物(如NaxCoO2系统),钛和钒的氧化物等等也极受关注,它们具有各不相同、复杂的电子相图。其原因是由于这些不同系统中,电荷、自旋、轨道所起的支配作用不同,导致系统处于完全不同的量子涨落态或是长程有序态。

2)量子阻挫系统
近年来量子磁性阻挫系统受到了人们越来越多的关注,它们中由于各种量子涨落的竞争导致了很多新的物理现象。所谓阻挫,是由于体系内部复杂的相互作用而导致的一种竞争,进而引起更大的量子涨落。比如在二维三角格子系统中,以反铁磁Ising模型为例子,如下图,三角格子可以分成三套子格子A,B,C,考虑到A与B反铁磁耦合,它们自旋倾向自旋反平行,A与C反铁磁耦合,它们自旋也倾向自旋反平行,这样,B与C就会自旋平行,可是它们在哈密顿量中也是反铁磁耦合,同时自旋也是倾向自旋反平行,这样B与C之间的排列关系就出现竞争了。那么这种竞争会不会破坏有序往往是人们关心的问题。目前人们认识到,对于许多这类结构阻挫系统,电子轨道的占据、简并和有序对其奇异的量子现象起了重要作用。磁性阻挫体系对量子多体理论提出了严重挑战,需要人们提出新的物理概念和原理,建立能描述包括量子涨落在内的新的多体理论。

二维三角格子上的反铁磁耦合产生的阻挫现象的简单示意图。

3)量子相变与量子临界现象
量子相变是在接近绝对零度时,量子系统随着外界参量的变化,其基态从一种关联(有序)的状态到另一种关联状态的转变。零温下的量子相变点是物质基态相图中的一个奇异点,其重要意义在于控制着有限温度的大片量子涨落区域,表现出一系列完全不同于普通金属的热力学和动力学输运性质,即所谓的量子临界现象或非费密液体行为。量子临界现象为人们解释部分强关联电子体系低温下的奇异金属态或新物质态提供了一种新的微观图象。

在经典力学中,系统中每个粒子的运动可以由牛顿经典运动定律来得以准确描述。当体系是一个多粒子系统,体系的自由度是随着粒子数线性增加,n体问题包含6n个变量,因为每个质点需要3个空间坐标和3个分速度表示。粒子间的相互耦合导致牛顿方程变得复杂,那么一般情况下,描述整个体系的牛顿方程变得难以求解,甚至三体问题就已令人费解了,它的解可能是混沌的。所以在有关多体问题(n>3)的物理文学作品里有时会发现像"解决多体问题是不可能的"这样的描述。这就是多体问题的本质。

在量子力学中,多体问题往往是一些比氢原子更为复杂的物理问题,也可能是目前凝聚态物理中最大的难题。原则上,我们已经通晓宇宙的钥匙,这就是薛定谔方程( schrodinger equation)。对于某个体系,如果我们能够求解出该系统的薛定谔方程,理论上我们就可以知道任何物理信息。我们知道,薛定谔方程需要一个哈密顿量,那么一个核心的问题就是如何得到能够准确描述该系统的哈密顿量。从错综复杂的物理现象中提取抽象的哈密顿量是一件富有挑战性和亟需洞察力的任务。一旦我们能够找到一个合适的哈密顿量,接着就遇到另外一个难题,甚至是最大的难题。多体系统的自由度随着体系大小增长的很快,往往是指数增长。宏观体系中的粒子数目是阿伏加德罗(Avogadro)常数。所以,除了有限几个可解模型,一般多体系统的复杂性往往超过人类的数学能力,也超过了迄今为止的超级计算机的能力。因此,要准确描述一个宏观体系是非常困难的。

然而,事情也不是都那么悲观。有时候,多体问题可以通过正则变换得以简化,这种做法在量子场论里应用的很成功。另外一个办法就是我们利用近似办法来减少自由度,忽略系统内的一些相互作用,这样就让多体问题变成一个相对简单的问题,往往剩下的是一系列独立的简单的方程。此外,我们也可以先在小系统上进行研究,然后外推到更大的系统。

相变和量子相变

相变是指物质从一种相(态)变成另一种相,最常见的是冰变成水和水变成蒸气。
当我们感到口渴的时候,我们就会烧水。水面一直到某个温度前(大致100oC左右)都是静止的,会看到泡泡从底部快速上升,浮到水面,破裂开,化作水蒸气,一直到整壶水都烧干。如果我们把整杯水放入冰箱,调节温度0oC以下,我们会发现水结成冰。这些无处不在的熟悉现象每天都发生在我们的日常生活中。理论上,水,水蒸气,冰都是由H2O分子组成,它们却属于不同的状态,或者说处于不同相。相变描述的是物质如何从一个状态转变成另外一个状态,比如冰融化成水就是相变,因为冰是固体而水是液体。相变过程中,物质要么释放要么吸收能量。一般情况下,增加或者减少能量将改变物质的温度,同时粒子的动能也相应地增加或者减少。发生相变时,粒子间距改变导致势能改变。一个有趣的问题就是为什么在某一温度, 1023H2O分子会同时"决定"开始移动,从而导致水变成冰。

固液气三种物质状态的微观特征

热力学定理告诉我们处于热力学平衡时的系统的自由能F = E- T S达到极小值 ,这里T是绝对温度,单位是开尔文(Kelvin)。内能E和熵值S的微妙平衡,或称为热力学涨落导致了相变的发生。熵,据Boltzmann解释,是一个相"随机性"的程度的衡量,更为具体地说,在给定的能量和体积下,它正比于H2O分子可能排列构形的数目的对数值,所以在气相的熵值显然大于固相的熵值。当温度T比较小的时候,自由能F = E -TS主要由内能决定,而固相的内能比较小,所以系统处于固相。而当温度T比较大,熵值部分对在自由能F表达式中就变得重要,所以此时气相的自由能更低。

根据Ehrenfest的分类办法,相变是由在相变点,自由能的导数不连续的最低阶数来标识的,也就是当自由能的n-1阶导数连续,而n阶自由能导数不连续,我们就把这类相变称为n级相变。

一级相变表现出自由能对热力学变量的一阶导数不连续。例如,假如温度是热力学变量,自由能对温度的一阶导数是熵,在相变点熵不连续就导致潜热的存在。潜能为Delta E = T (s2 -s1),这里s1 (s2) 是相变后(前)相应的熵值,T是体系温度。在相变过程中,体系温度保持不变,但是体系有吸收或者释放能量。潜热的存在就会致使混合态的出现,因为能量不能瞬间从系统转移到周围环境里。这样的话,体系的某些部分已经完成了相变而另外一些却没有,我们称之为亚稳态,因为亚稳态的存在,一阶相变很难研究。然而,有许多重要的相变就是属于这一类,一个典型的例子就是汽-液转变。当我们烧开水的时候,很容易观测到混合态,水不是一下子就变成水蒸汽的,而是形成水和水蒸汽泡沫的湍流混合。

二级相变表现出自由能的二阶导数不连续。比如,假如温度是热力学变量,自由能对温度的二阶导数比热cv的不连续就表明了系统存在二级相变,有时候在相变点比热cv出现发散。在发生铁磁-顺磁相变的材料里,例如铁,当温度调至居里(Curie)温度,自由能相对外场的二阶导数磁化率就有一个不连续的跳迁。而自由能相对外场强度的一阶导数磁化强度,从零连续增长。

对于二级相变,朗道提出了唯象理论。根据Ehrenfest的分类方案,原则上存在二级,三级,甚至更高级相变,一般我们把它们统称为连续相变,它们与一级相变的区别就是是否相变过程中存在潜热。

还有一类相变是称为无穷级相变。相变过程中各种物理量是连续的,系统对称性没有破坏。最有名的例子是二维XY模型中的Kosterlitz-Thouless相变。系统经历了从关联函数指数衰减的高温无序相到关联函数代数衰减的低温无序态。

最近,拓扑序引起人们的很大兴趣。这是一种新的量子态序,并且超出了对称性破缺理论描述范围,不适用于局域序参量与长程关联来描述。然而,拓扑序可用序列量子数来描述,比如基态简并度,准粒子分数统计,边际态,拓扑熵等等。大致来说,拓扑序是量子态长程量子纠缠的模式。不同的拓扑态之间通过相变相互转化。

到目前为止,我们所给出的例子大多是与热力学相变相关的,这种相变是随着温度的增加,熵在决定系统处于哪个相的重要性逐渐地提高。那么除了热力学涨落,是否还有其他的机制可以驱动相变呢?

答案是肯定的。如果我们把温度降到0 K,(理想状况,因为热力学第三定律告诉我们不管多理想,不可能通过有限操作使系统的温度降到零温度),体系就不存在热力学涨落,系统处于它的基态,能量为E0

一方面,在零温 T=0 K时候,经典模型里所有H2O分子静止在晶格格点上,排列成完美的晶体结构。另一方面,在量子力学里,海森堡测不准原理Delta x*Delta p > hbar/2,告诉我们每一个分子的位置和动量是不可能同时确定的。如果我们把分子放在晶格格点上,若是位置是完全确定的,那么分子的动量就会完全不确定。也就是说,分子不可能是静止的。换句话说,体系存在量子涨落效应所带来的零点能。同时,这种涨落效应也会引起不同相的存在。它们的动能会让所谓的基态增加一个不可思议的能量耗费,所以决定H2O在温度T=0K的态成为一个在遵守海森堡不确定原理下,如何优化势能和动能的棘手问题。与热力学相变一样,这种微妙的平衡,我们称之为量子涨落,至少在原则上,说明甚至在T=0K,是可能有多个相的。这些相有不同的宏观性质,但是有着相同的微观结构,它们之间通过量子相变而连接。比如,在统计物理中,我们经常举磁性材料的例子,一个常见的理论模型就是铁磁Ising模型,在加入横场后,系统会出现铁磁相到顺磁相的相变。理论分析后发现,铁磁相与顺磁相和常见的液相与汽相之间很相像。Ising模型中的自旋向上向下排列,与有名的二元格点模型中占据不占据的解释都是一一等价。

量子相变与热力学相变的一个本质不同在于,在T>0K发生热力学相变的时候要求熵最大化的涨落,已经被T>0K发生量子相变时由不确定关系而引起的量子涨落所替换。除了我们所熟悉的温度改变,H2O会经历固-液-汽相变,在T=0K并且加强压强的条件下,H2O也会经历几个不同的相,每一个相具有不同的晶体结构,相互通过量子相变转化。

考虑有限晶格上哈密顿量 H(g) = H0 + g H1的最低本征值E0其中g是无量纲常数,H0H1相互对易,且与g无关。在这种情况下,H0H1可以同时实现对角化,本征函数与常数g无关,而本征值则是g的函数。于是就可能出现在某一点,比如g = gc,基态能级与激发态能级发生简并交叉(level crossing),我们把基态能级不可解析点视为量子相变点。或者出现这样的情况,在有限格子上,基态能级不简并,而低激发态发生能级交叉,随着格子的逐渐变大而逐渐接近,基态能级与低激发态能级交叉点逐渐接近,从而导致基态能不解析点的出现,即量子相变的出现。在无穷大格子极限下发生能级交叉,有能级在某一点g = gc,会随着格子的逐渐变大而逐渐接近,在无穷大格子极限下发生能级交叉,我们称之能阶互斥效应(avoided level-crossing)。我们把基态能级不可解析点视为量子相变点,它既可以是真实的能级交叉点,又可是极限情况下的能阶互斥点。常见的会导致量子相变点的低激发态能级结构见图。


常见的会导致量子相变点的低激发态能级结构。

迄今为止,量子相变只是一个抽象的理论概念。因为在实验室中,我们不可能把任何材料降温到 0K,所以似乎对量子相变的理解对材料技术的认识没有任何意义。当然,这种武断的结论是不对的。其中的原因就是发生在T=0K的量子相变中不仅仅反应出体系在T=0K的性质,也能体现出材料在T>0K时物理性能的特征指纹,而这些指纹常常在有限温度 T>0K下清晰可见,甚至在室温,但是,在零温时考虑相变显然是相对简单的。此外,我们考虑了T=0K的量子相变与T>0K若干相的关系会加深对许多材料的物理性质的理解,比如,在铜氧超导体中的量子临界点附近,对于T>0K,我们就会发现热力学涨落与量子涨落的相互作用会引起一些奇特的现象。


计算方法简介

为了处理复杂的强关联多体系统,学者们发明了许多方法,包括数学解析方法和计算机数值方法。
其实在目前大多数的研究中,解析方法和数值方法之间已经没有明显的界限,通常是结合在一起解决特定问题。解析方法又可分为严格方法和近似手段。

到目前为止,人们认为,除了Ising模型, d>=2的多体系统不可能被严格求解。对于一维系统,则有许多可解模型。Bethe ansatz就是一种能精确求解量子多体模型的方法。它是Hans Bethe在1931年发明,并且得到一维反铁磁Heisenberg模型的本征值和本征向量。其它少数模型也可以完美解决,比如一维s-d模型,一维Anderson模型,一维XXZ 模型,一维Hubbard模型,一维Kondo模型。

另外一些方法不能完全求解模型,但是可以提供一些系统性质的严格证明,一个典型的例子就是在Dyson, Lieb和Simon于1978年所引入的自旋反射方法。Lieb,Schultz,和 Mattis利用该方法证明了在一维反铁磁Heisenberg链中,当局域自旋S是半整数,基态是非简并的,自旋激发是无能隙的。Haldane推测,当局域自旋S是整数的,量子反铁磁Heisenberg链具有有限自旋激发能隙,零温自旋关联是指数衰减的其他方法包括玻色化(bosonalization),重整化群(numerical renormalization group),微扰理论(perturbation theory),平均场理论等等。

随着计算机性能的不断提高,数值计算方法在强关联体系的研究中扮演着越来越重要的角色。数值计算的结果不仅仅可以用来与实验数据进行对照,来检验理论模型,解释实验,而且还可以对材料的性质进行预言,指导实验。对于一些特定的模型,理论处理起来非常困难,往往不得已要做一些粗略的近似,然而,采用合适的数值计算方法处理起来就相对很容易,并得到令人满意的计算结果。对于低维强关联体系,常用的数值计算方法有精确对角化,量子蒙特卡罗,动力学平均场,密度矩阵重整化群等。

精确对角化是我常用的一种方法。在此,其中关键的技术是Lanczos方法和双表格技术。为此我们简单介绍一下精确对角化这种计算方法。
精确对角化方法是研究量子多体系统的一个重要工具,一般可以用来求出多体模型在有限晶格上若干个本征值和本征函数。同时一般的可观测物理量也很容易得到,甚至很复杂的动力学性质也可以用它求解。这种方法适用于任意模型,它可以用在其他一些方法不适用的领域,比如一维、二维的费米子模型(没有符号问题);一维、二维、三维带阻挫的量子磁体等。与量子蒙特卡罗方法不一样,精确对角化方法给出了有限格子上多体模型的准确答案。它是其他近似方法的一个基准。

虽然计算机技术的日新月异是大大有利于该方法的发展,但是该办法需要大量的内存仍然是一个瓶颈,因为热力学极限下所需要指数增长的计算能力是不大可能得以满足的,比如,对于L格点,Heisenberg模型的希尔伯特空间是2L维,t-J模型的则有3L维,Hubbard模型的则有4L维,以及自旋S模型有(2S+1)L维。当然,人们可以通过哈密顿量所拥有的对称性,使体系的性质能在子空间中求出,我们知道,子空间的希尔伯特空间维数得到了有效的减少。比如体系有平移对称性时,动量P是一个好量子数。我们可以选定某一个固定P的布洛赫波函数作为希尔伯特的基矢。又如果体系具有自旋Sz或粒子数N守恒,相应的计算就只需要在固定自旋Sz或者固定粒子数N的空间进行,这样我们只需要在子空间中求解。然而,由对称性而减少的空间维数一般对于能够算出的晶格尺寸影响不是很大。因此,精确对角化的致命劣势是只能在小格子上进行计算。然而,当相干长度小于晶格尺寸,所得到的物理结果就是可信的。一般在很多低维模型中,这种情况是成立的。有时候我们会把有限格子上得到的结果外推到无限大格子,从而得到有关大尺寸样品的一些合理的结果。

科研团队

Candidate for Master degree
伊天成

Undergraduate Advisees

Wei-Ming Dai (本科毕业设计 March 2010- July 2011)

Lin Wang (本科毕业设计 September 2009-July 2010)

Jie Cai (本科毕业设计 December 2013-June 2014)

Lei Wang (本科毕业设计 December 2013-June 2014)

Ben-Bo Sun (本科毕业设计December 2013-June 2014)

Xin-Yu Li (本科毕业设计 December 2015-June 2016)
Yu-Cheng Qiu (莙政学者计划; 本科毕业设计 Feb 2015-June 2017)

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